Тригонометрическое уравнение 2cos^2x - cosx - 1 = 0

Тригонометрические уравнения являются уравнениями, в которых неизвестные значения связаны с тригонометрическими функциями. Такие уравнения часто возникают при решении задач, связанных с геометрией, физикой и другими науками.

Одно из таких уравнений – 2cos^2x - cosx - 1 = 0. Для его решения нам необходимо найти значения угла x, при которых это уравнение выполняется.

Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

Шаг 1: Приведение к квадратному уравнению

Чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, мы сначала приведем его к квадратному уравнению.

Заметим, что оба члена уравнения содержат cosx. Если мы представим cosx как одну переменную, например t, то уравнение примет следующий вид:

2t^2 - t - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как обычное квадратное уравнение.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения 2t^2 - t - 1 = 0, мы можем использовать различные методы, такие как факторизация, метод квадратного корня или формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Для квадратного уравнения вида at^2 + bt + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В нашем случае, a = 2, b = -1 и c = -1.

Вычислим дискриминант:

D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант D > 0, мы имеем два различных вещественных корня для квадратного уравнения.

Используя формулу корней квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / (2a), получаем:

t = (1 ± √9) / (4) = (1 ± 3) / 4

Таким образом, мы получаем два возможных значения t: t1 = -1/2 и t2 = 1.

Шаг 3: Обратное преобразование

Теперь, когда у нас есть значения t, мы можем перейти обратно к нашей исходной переменной cosx.

Мы знаем, что cosx = t. Таким образом, мы можем записать два возможных значения для cosx:

cosx1 = -1/2 и cosx2 = 1.

Шаг 4: Нахождение значений угла x

Теперь найдем значения угла x, соответствующие значениям cosx.

Исходя из определения косинуса, мы знаем, что cosx = adjacent/hypotenuse. Таким образом, используя значения cosx1 и cosx2, мы можем понять, когда соседний и гипотенуза равны -1/2 и 1.

Для cosx = -1/2, мы можем представить соседний треугольник, угол x которого находится во второй или третьей четверти (где cosx отрицателен). Таким образом, мы можем записать два возможных значения для x: x1 = 2π/3 и x2 = 4π/3.

Для cosx = 1, мы знаем, что косинус максимально возможен при x = 0. Таким образом, у нас есть одно значение x3 = 0.

Ответ

Таким образом, тригонометрическое уравнение 2cos^2x - cosx - 1 = 0 имеет три решения: x1 = 2π/3, x2 = 4π/3 и x3 = 0.