Решите уравнение 1 + cos x = 2sin^2 x

Данное уравнение является тригонометрическим и содержит две тригонометрические функции: косинус и синус. Наша задача состоит в том, чтобы найти значения переменной x, при которых это уравнение будет выполняться.

Для решения данного уравнения воспользуемся известными тригонометрическими тождествами. Приведем уравнение к одной тригонометрической функции:

1 + cos x = 2sin^2 x

Используем следующее тригонометрическое тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1

Перепишем уравнение, заменив cos^2 x в правой части:

1 + cos x = 2(1 - cos^2 x)

Раскроем скобки:

1 + cos x = 2 - 2cos^2 x

Теперь преобразуем данное уравнение:

2cos^2 x + cos x - 1 = 0

Это уравнение уже представлено в квадратном виде. Давайте решим его с помощью факторизации:

(2cos x - 1)(cos x + 1) = 0

По свойству нулевого произведения:

2cos x - 1 = 0 или cos x + 1 = 0

Решим каждое уравнение отдельно.

Уравнение 2cos x - 1 = 0:

2cos x = 1

cos x = 1/2

Найдем все значения x, которые удовлетворяют условию cos x = 1/2. Это равенство выполняется при x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Уравнение cos x + 1 = 0:

cos x = -1

Найдем все значения x, которые удовлетворяют условию cos x = -1. Это равенство выполняется при x = π + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, все значения x, при которых выполняется уравнение 1 + cos x = 2sin^2 x, задаются выражениями x = π/3 + 2πk, x = 5π/3 + 2πk и x = π + 2πk, где k - целое число.

Это решение можно проверить, подставив найденные значения x обратно в исходное уравнение.