x^2/sqrt(16+x^2) как найти интеграл

Чтобы найти интеграл функции $x^2/\sqrt{16+x^2}$, мы можем воспользоваться методом замены переменной.

Для начала, проведем замену $u=16+x^2$. Тогда мы можем выразить $x^2$ через $u$: $x^2=u-16$. Далее, мы можем выразить $dx$ через $du$: $dx=du/(2\sqrt{u-16})$.

Используя эти выражения для $x^2$ и $dx$, мы можем переписать интеграл в новых переменных:

$$ \int\frac{x^2}{\sqrt{16+x^2}}dx=\int\frac{u-16}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2\sqrt{u-16}}=\frac{1}{4}\int\frac{u-16}{u^{1/2}}du $$

Мы можем теперь разложить дробь на две части:

$$ \frac{u-16}{u^{1/2}}=u^{1/2}-16u^{-1/2} $$

Тогда наш интеграл станет:

$$ \int\left(u^{1/2}-16u^{-1/2}\right)du=\frac{2}{3}u^{3/2}-32u^{1/2}+C $$

Возвращаясь к переменной $x$, мы получаем ответ:

$$ \int\frac{x^2}{\sqrt{16+x^2}}dx=\frac{2}{3}(16+x^2)^{3/2}-32(16+x^2)^{1/2}+C $$

Это и есть искомый интеграл.