Теорема о единственности разложения вектора по базису

В линейной алгебре одной из основных концепций является базис. Базис - это набор линейно независимых векторов, которые способны порождать все остальные векторы в данном векторном пространстве.

Одним из важных свойств базиса является то, что любой вектор в данном пространстве может быть разложен на сумму векторов базиса с определенными коэффициентами. Такое разложение называется разложением вектора по базису.

Теорема о единственности разложения вектора по базису утверждает, что если дан векторное пространство V и его базис B, то любой вектор v в пространстве V может быть разложен по базису B единственным образом.

Формально, пусть {v1, v2, ..., vn} - базис пространства V. Для данного вектора v существуют единственные коэффициенты a1, a2, ..., an такие, что v = a1v1 + a2v2 + ... + an*vn.

Доказательство данной теоремы основано на свойствах линейной независимости базиса. Предположим, что v может быть разложен по базису B двумя различными способами:

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn, v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn.

Тогда можно вычесть второе уравнение из первого:

0 = (a1 - b1)v1 + (a2 - b2)v2 + ... + (an - bn)vn.

Так как базис состоит из линейно независимых векторов, то единственное решение данного уравнения - это нулевое решение, а значит, коэффициенты (a1 - b1), (a2 - b2), ..., (an - bn) должны равняться нулю.

Это означает, что a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, то есть единственность разложения v по базису B доказана.

Теорема о единственности разложения вектора по базису имеет важное значение в линейной алгебре. Векторы и их координаты в базисе позволяют нам удобно работать с линейными преобразованиями и понимать структуру векторного пространства. Кроме того, она служит основой для многих других теорем и результатов в линейной алгебре.

Таким образом, теорема о единственности разложения вектора по базису подтверждает важность базисов в линейной алгебре и позволяет проводить различные вычисления и преобразования векторов с использованием базиса.