Решение уравнения sin3x+sin7x=2sin5x

Для решения данного уравнения мы должны использовать тригонометрические свойства и формулы.

Для начала, заметим, что уравнение включает только синусы. Это означает, что мы можем использовать формулу суммы синусов:

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a\sin b$$

Применим ее к исходному уравнению:

$$\sin3x+\sin7x=\sin5x+\sin5x$$

Мы можем также использовать формулу разности синусов:

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b - \cos a\sin b$$

Применим ее к правой части уравнения:

$$2\sin5x=\sin(5x-0.5\pi)+\sin(0.5\pi-5x)$$

(здесь мы использовали тот факт, что $\sin0.5\pi=1,$ а $\cos0.5\pi=0$)

Теперь мы можем написать:

$$\sin3x+\sin7x=\sin(5x-0.5\pi)+\sin(0.5\pi-5x)$$

Сгруппируем синусы так, чтобы оставить один синус на каждой стороне:

$$\sin3x-\sin(5x-0.5\pi)=\sin(0.5\pi-5x)-\sin7x$$

Мы можем использовать формулу разности синусов, чтобы упростить каждое слагаемое:

$$-2\cos(4x-0.5\pi)=-2\cos(4x-0.5\pi)$$

Оба выражения равны друг другу, поэтому исходное уравнение имеет бесконечное число решений.

Мы только что использовали несколько формул, чтобы решить уравнение. Однако, мы также могли бы решить его графически, нарисовав графики всех трех синусов, и нашли точки пересечения. Мы также могли бы использовать методы угловых и синусных двойников, чтобы привести уравнение к более простому виду.

В любом случае, решение демонстрирует потенциальную сложность задачи, которую можно преодолеть, используя тригонометрические формулы и графический анализ.