Решите плиз задачу ...только с объяснением пожалуйста ..

Столкнулись с задачей, которую никак не можете решить? Обращайтесь к нам! В этой статье мы расскажем об одной из задач и ее решении с подробным объяснением.

Формулировка задачи

Имеется уравнение: $$ 2\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} = 2$$

Найдите значение $x$ на интервале $[0, 2\pi]$.

Решение

Для начала сократим выражение под корнем, приведя его к виду: $$ 2\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} = 2 \Leftrightarrow \sin{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} = 1 $$

Затем воспользуемся следующим тождеством: $$ \cos(a-b) = \cos{a}\cos{b} + \sin{a}\sin{b}$$

Применим его для $\cos{x}$ и $\sin{x}$: $$ \cos{x - \dfrac{\pi}{6}} = \cos{x}\cos{\dfrac{\pi}{6}} + \sin{x}\sin{\dfrac{\pi}{6}} $$

Перепишем это выражение в другом виде: $$ \cos{x - \dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} + \dfrac{1}{2}\sin{x} $$

Теперь вернемся к нашему уравнению и заменим $\cos{x}$ и $\sin{x}$: $$ \sin{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} = 1 \Leftrightarrow 2\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} = 2 \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow 2\sin{x} + 2\cos{\frac{\pi}{6}}\cos{x} + 2\sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x} = 2 $$

Разложим подобные слагаемые: $$ 2(\sin{x} + \cos{\frac{\pi}{6}}\cos{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}) = 2 $$

Применим формулу для $(a + b)^2$: $$ 2\left(\sin{x} + \cos{\frac{\pi}{6}}\cos{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}\right) = 2 \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow (2\sin{\frac{\pi}{6}})\sin{x} + (2\cos{\frac{\pi}{6}})\cos{x} = 2 - 2 \sin{\frac{\pi}{6}} $$

Заменим коэффициенты на их значения: $$ \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{x} + \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{x} = 2 - 2 \sin{\frac{\pi}{6}} \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2 - \sqrt{3} $$

Получили тригонометрическое уравнение. Решим его.

$$ \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2 - \sqrt{3} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos{(2 - \sqrt{3})} + 2\pi k $$

Для того, чтобы найти значения $x$ на интервале $[0, 2\pi]$, подставим все найденные значения $\arccos{(2 - \sqrt{3})}$ в формулу:

$$ x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos{(2 - \sqrt{3})} + 2\pi k \Leftrightarrow x = \pm \arccos{(2 - \sqrt{3})} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$

Ответ

[ \boxed{x = \pm \arccos{(2 - \sqrt{3})} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z} \cap [0,2\pi].} ]

В этой статье мы рассмотрели задачу на нахождение решения уравнения с помощью тригонометрических преобразований и тригонометрических формул. Надеемся, что наше подробное объяснение позволило лучше понять решение и применить его в своих задачах.