Решение контрольной работы по алгебре, на тему "РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 8 класс

Введение

Рациональные уравнения являются одним из важных понятий в алгебре. Они представляют собой уравнения, в которых содержатся рациональные выражения. В данной статье мы рассмотрим несколько задач на решение рациональных уравнений.

Задача 1

Решите уравнение:

$$\frac{3}{x-2} = \frac{5}{x+1}.$$

Решение:

Перемножим оба выражения на $(x - 2)(x + 1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$3(x + 1) = 5(x - 2).$$

Раскроем скобки и соберем все коэффициенты в одну часть уравнения:

$$3x + 3 = 5x - 10.$$

Перенесем все переменные на одну сторону:

$$3x - 5x = -10 - 3.$$

Упростим:

$$-2x = -13.$$

Избавимся от отрицательного коэффициента, умножив обе части уравнения на -1:

$$2x = 13.$$

И, наконец, выразим x:

$$x = \frac{13}{2}.$$

Ответ: $x = \frac{13}{2}.$

Задача 2

Решите уравнение:

$$\frac{x + 3}{x - 2} - \frac{6}{x + 1} = \frac{4}{x + 1}.$$

Решение:

Перемножим оба выражения на $(x - 2)(x + 1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$(x + 3)(x + 1) - 6(x - 2) = 4(x - 2).$$

Раскроем скобки и соберем все коэффициенты в одну часть уравнения:

$$x^2 + 4x + 3 - 6x + 12 = 4x - 8.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$x^2 - 8x + 15 = 4x - 8.$$

Перенесем все переменные на одну сторону:

$$x^2 - 12x + 23 = 0.$$

Решим полученное квадратное уравнение. Мы видим, что здесь нет рациональных корней, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac.$$

В данном случае $a = 1$, $b = -12$, $c = 23$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 144 - 92 = 52.$$

Так как $D > 0$, то уравнение имеет два действительных корня. Воспользуемся формулой для нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения в формулу:

$$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{13}}{2}.$$

Сократим дробь:

$$x = 6 \pm \sqrt{13}.$$

Ответ: $x = 6 + \sqrt{13}$ или $x = 6 - \sqrt{13}$.

Заключение

Рациональные уравнения являются одной из важных тем в алгебре. В данной статье мы рассмотрели две задачи на решение рациональных уравнений. Полученные решения были подкреплены подробным математическим обоснованием.