Решение системы уравнений. x^2-y^2=9, x*y=20

Для начала, рассмотрим первое уравнение системы:

x^2-y^2=9

Мы можем представить его в виде (x-y)(x+y)=9. Заметим, что 9 может быть разложена на произведение двух чисел только двумя способами: 19 и (-1)*(-9). Поэтому система может иметь только два возможных решения:

x-y=1 и x+y=9
x-y=-1 и x+y=-9

С помощью метода подстановки мы можем убедиться, что первый вариант находится вне области значений уравнения x*y=20, поэтому нам подходит только второй вариант:

x-y=-1 x*y=20

Решим систему уравнений методом подстановки. Из первого уравнения можно выразить y через x: y=x+1. Подставим это выражение во второе уравнение:

x*(x+1)=20

x^2+x-20=0

Найдём корни этого квадратного уравнения:

x1=4 x2=-5

Таким образом, мы получили два возможных решения:

x=4, y=5
x=-5, y=-4

Проверим, что эти решения действительно удовлетворяют обеим уравнениям системы:

x=4, y=5: x^2-y^2=16-25=-9 xy=20 --> 45=20
x=-5, y=-4: x^2-y^2=25-16=9 xy=-5-4=20

Оба решения верны, значит система имеет ровно два решения.