Помогите решить несколько заданий на применение производной
Применение производной - одна из самых важных тем в математике, которая находит широкое применение в различных областях науки и техники. В данной статье рассмотрим несколько заданий на применение производной и попытаемся их решить.
Задание 1
Найти экстремумы функции $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$
Для решения данной задачи необходимо найти производную функции $f(x)$ и приравнять ее к нулю:
$$f'(x)=3x^2-6x+2=0$$
Решив данное уравнение, получим:
$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$$
Для того, чтобы понять, являются ли найденные точки экстремумами функции, необходимо проанализировать знак производной в окрестности каждой из них. Если знак производной меняется при переходе через точку, то она является экстремумом.
$$f'(x)=\begin{cases} <0, & x<x_1 \
0, & x_1<x<x_2 \ <0, & x>x_2 \end{cases}$$
Так как знак производной меняется при переходе через точки $x_1$ и $x_2$, они являются точками минимума и максимума функции соответственно.
Задание 2
Найти точку перегиба функции $f(x)=x^3-3x^2+2x+1$
Для решения данной задачи необходимо найти вторую производную функции $f(x)$ и приравнять ее к нулю:
$$f''(x)=6x-6=0$$
Решив данное уравнение, получим:
$$x=1$$
Для того, чтобы понять, является ли найденная точка точкой перегиба функции, необходимо проанализировать знак второй производной в окрестности этой точки. Если знак второй производной меняется при переходе через точку, то она является точкой перегиба.
$$f''(x)=\begin{cases} <0, & x<1 \
0, & x>1 \end{cases}$$
Так как знак второй производной меняется при переходе через точку $x=1$, она является точкой перегиба функции.
Задание 3
Найти значение максимального прироста функции $f(x)=\ln(x^2+1)$ на интервале $[0,5]$
Для решения данной задачи необходимо найти производную функции $f(x)$ и найти максимальное значение на интервале $[0,5]$:
$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$
Максимальное значение производной на интервале $[0,5]$ будет находиться в точке, где производная равна нулю или не существует. Поскольку производная в данной задаче всюду определена, то максимальное значение на интервале будет достигаться либо в точке $x=0$, либо в точке $x=5$.
$$f'(0)=0$$
$$f'(5)=\frac{10}{26}>0$$
Таким образом, максимальное значение прироста функции $f(x)$ на интервале $[0,5]$ равно $f(5)-f(0)=\ln(26)-\ln(1)=\ln(26)$.
Заключение
Применение производной - это мощный инструмент, который позволяет не только находить экстремумы и точки перегиба функций, но и решать более сложные задачи, которые связаны с анализом функций и их поведением на различных интервалах. Надеемся, что данный материал поможет вам более точно понять применение производной и решать задачи, связанные с данной темой.