Объясните пожалуйста: докажите, что заданная функция является линейной. Найдите область её определения.
В математике линейными функциями называются функции, которые удовлетворяют двум свойствам: аддитивности и однородности.
Аддитивность означает, что если мы прибавляем к функции сумму двух значений аргумента, то результат будет равен сумме значений функции для каждого из этих значений аргумента:
$f(x+y) = f(x) + f(y)$
Однородность означает, что если мы умножаем аргумент функции на константу, то и результат умножается на эту константу:
$f(kx) = kf(x)$
Давайте рассмотрим пример функции и проверим, является ли она линейной. Пусть дана функция:
$f(x) = 2x + 1$
Чтобы показать, что функция является линейной, мы должны проверить, что она удовлетворяет обоим свойствам.
Сначала проверим аддитивность. Для этого подставим $x+y$ вместо $x$ в выражении функции:
$f(x+y) = 2(x+y) + 1 = 2x + 2y + 1$
Теперь подставим $x$ и $y$ в $f(x)$ и $f(y)$ соответственно, а затем сложим результаты:
$f(x) + f(y) = 2x+1 + 2y+1 = 2x+2y+2$
Мы видим, что результаты не равны, следовательно, функция не является аддитивной и не может быть линейной.
Теперь найдем область определения функции. Область определения функции - это набор всех возможных значений аргумента функции, для которых значение функции определено.
Для данной функции область определения - это любое число из множества действительных чисел, т.е. $(-\infty, +\infty)$. Можно подставить вместо $x$ любое действительное число и получить корректный результат.
Таким образом, мы выяснили, что функция $f(x) = 2x+1$ не является линейной, и ее область определения - все действительные числа.