Комплексные числа. Уравнение: 9х^2 - 6x + 10 = 0
Введение
Комплексные числа - это расширение множества действительных чисел, которое позволяет решать уравнения, которые не имеют решения в действительных числах. Решение уравнений с использованием комплексных чисел является важным инструментом в науке и технике.
Уравнение 9х^2 - 6x + 10 = 0
Рассмотрим уравнение
9х^2 - 6x + 10 = 0
Это уравнение является квадратным. Как мы знаем, у квадратных уравнений могут быть два, один или нуль действительных корней. Чтобы определить корни этого уравнения, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
Где a, b, и с - это коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
Подставим коэффициенты нашего уравнения в эту формулу:
x = (-(-6) ± sqrt((-6)^2 - 4(9)(10))) / (2 * 9) = (6 ± sqrt(-216)) / 18
Выражение sqrt(-216) не определено в действительных числах, поскольку квадрат отрицательного числа не может быть действительным числом. Однако, мы можем использовать комплексные числа для решения этого уравнения.
Решение уравнения с использованием комплексных чисел
Мы знаем, что i = sqrt(-1) - это мнимая единица. Эта единица используется для создания комплексных чисел в виде a + bi, где a и b являются действительными числами.
Таким образом, мы можем записать sqrt(-216) как sqrt(36 * -6) = 6i * sqrt(6).
Теперь мы можем записать корни нашего уравнения в виде:
x1 = (6 + 6i * sqrt(6)) / 18 = (1 + i * sqrt(6)) / 3
x2 = (6 - 6i * sqrt(6)) / 18 = (1 - i * sqrt(6)) / 3
Таким образом, мы получаем два комплексных корня для нашего уравнения: x1 = (1 + i * sqrt(6)) / 3 и x2 = (1 - i * sqrt(6)) / 3.
Заключение
Комплексные числа являются важным математическим инструментом для решения уравнений, которые не имеют решения в действительных числах. Решение квадратных уравнений, таких как 9х^2 - 6x + 10 = 0, с использованием комплексных чисел позволяет нам получать комплексные корни. Эти корни могут использоваться для решения ряда задач в научных и технических областях.