Какую кривую определяет уравнение 4x^2-y^2+8x-2y+3=0?

Уравнение 4x^2-y^2+8x-2y+3=0 - это уравнение кривой второго порядка. Она называется гиперболой. Гиперболы имеют несколько важных характеристик, таких как фокусы, директрисы и асимптоты.

Построение гиперболы

Для построения гиперболы необходимо изменить уравнение до канонического вида. Канонический вид гиперболы имеет следующий вид:

(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1

Где (h,k) - координаты центра, a и b - полуоси.

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно сначала перенести все свободные члены на правую сторону уравнения:

4x^2-y^2+8x-2y+3=0

4x^2 + 8x - y^2 - 2y = -3

Затем нужно сгруппировать переменные x и y:

4(x^2 + 2x) - (y^2 + 2y) = -3

Чтобы завершить квадрат, нужно добавить и вычесть некоторые константы:

4(x^2 + 2x + 1) - 1 - (y^2 + 2y + 1) + 1 = -3

4(x + 1)^2 - (y + 1)^2 = -2

Теперь уравнение приведено к каноническому виду. Мы видим, что центр гиперболы находится в точке (-1,-1). Это значит, что оси симметрии гиперболы параллельны координатным осям.

Определение основных характеристик

Фокусы

Для определения фокусов гиперболы нужно использовать следующую формулу:

c^2 = a^2 + b^2

Где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса.

Для нашей гиперболы:

a^2 = -2/4 = -0.5 b^2 = 1 c^2 = a^2 + b^2 = 0.5

c = sqrt(0.5) = 0.71

Фокусы находятся на расстоянии 0.71 от центра гиперболы.

Директрисы

Директрисы гиперболы - это прямые, которые перпендикулярны осям симметрии и находятся на равном расстоянии от центра гиперболы.

Для нашей гиперболы:

Для оси x: d = sqrt(a^2 + c^2) = sqrt(1.5) = 1.22

y = -1 ± d = -2.22 или -0.22

Для оси y: d = sqrt(b^2 + c^2) = sqrt(1.5) = 1.22

x = -1 ± d = -2.22 или -0.22

Директрисы находятся на расстоянии 1.22 от центра гиперболы.

Асимптоты

Асимптоты гиперболы - это прямые, которые приближаются к гиперболе, но никогда не пересекают ее.

Для нашей гиперболы угол между асимптотами и осью x равен:

tan α = b / a = -2

α = arctan(-2) ≈ -1.11

Угол между асимптотами и осью y равен:

tan β = a / b = -0.5

β = arctan(-0.5) ≈ -0.46

Уравнения асимптот:

y = (tan α) x + b

y = (tan β) x - a

y = -2x - 1

y = -0.5x - 1

Выводы

Таким образом, уравнение 4x^2-y^2+8x-2y+3=0 определяет гиперболу с центром в точке (-1,-1). Фокусы гиперболы находятся на расстоянии 0.71 от центра, директрисы на расстоянии 1.22, а асимпотты задаются уравнениями y = -2x - 1 и y = -0.5x - 1. Эти характеристики помогают нам понять поведение кривой и ее свойства.