Как возвести по формуле сокращенного умножения любое (не только куб и квадрат) число?

Алгебра, 7 класс, глава 5

Возводить число в квадрат или в куб с помощью формулы сокращенного умножения мы умеем. Но что делать в случае, когда нам нужно возвести в степень число, не являющееся кубом или квадратом?

Для этого нужно использовать формулу сокращенного умножения в общем виде. Эта формула записывается так:

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^{k}$$

Где $a$ и $b$ - это числа, а $n$ - степень, в которую мы хотим возвести сумму $a$ и $b$. Символ $\sum$ означает сумму, а ${n \choose k}$ - биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

$${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n!$ - это факториал числа $n$, т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Разберем формулу на примере. Пусть нам нужно возвести сумму $7x+3$ в степень 4. Тогда мы можем воспользоваться формулой сокращенного умножения:

$$(7x+3)^4=\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} (7x)^{4-k} 3^k$$

Рассчитаем биномиальные коэффициенты для каждого $k$:

$${4 \choose 0}=\frac{4!}{0!(4-0)!}=1$$

$${4 \choose 1}=\frac{4!}{1!(4-1)!}=4$$

$${4 \choose 2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6$$

$${4 \choose 3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=4$$

$${4 \choose 4}=\frac{4!}{4!(4-4)!}=1$$

Подставляем коэффициенты в формулу и выполняем вычисления:

$$(7x+3)^4=1\cdot(7x)^4+4\cdot(7x)^3\cdot3+6\cdot(7x)^2\cdot3^2+4\cdot(7x)\cdot3^3+1\cdot3^4$$

$$2401x^4+8400x^3+11340x^2+6480x+81$$

Таким образом, мы получили ответ. Мы можем таким же образом возводить в степень любые числа, используя формулу сокращенного умножения в общем виде.

Обратите внимание, что использование формулы сокращенного умножения в общем виде требует вычисления большего числа слагаемых, чем при использовании формулы для куба или квадрата. Поэтому в случае, когда требуется возвести в степень число, не являющееся кубом или квадратом, возможно более эффективно воспользоваться обычным умножением или другим способом возведения в степень.