Как решить неравенство: cosx+cos2x+cos6x+cos7x=4cosx/2cos5x/2cos4x
Для решения данного неравенства необходимо использовать trigonometric identities - тригонометрические тождества.
Шаг 1: Преобразование левой части уравнения
Прежде чем мы начнем решать неравенство, давайте перепишем его с помощью тригонометрических тождеств:
cos2x = 1 - 2sin^2(x) # Тождество двойного угла для cos(x) cos6x = cos(3x + 3x) # Тождество суммы для cos(x) = cos3xcos3x - sin3xsin3x = (4cos^3(x) - 3cos(x))(4cos^3(x) - 3cos(x)) - (3sin(x) - 4sin^3(x))(3sin(x) - 4sin^3(x)) cos7x = cos(6x + x) # Тождество суммы для cos(x) = cos6xcos1x - sin6xsin1x = (4cos^3(x)-3cos(x))(cos(x))- sin^3(x)-3sin(x)cos^2(x)+4sin^3(x)cos(x)
Теперь мы можем переписать левую часть уравнения:
cosx+cos2x+cos6x+cos7x = cos(x) + (1 - 2sin^2(x)) + [(4cos^3(x) - 3cos(x))(4cos^3(x) - 3cos(x)) - (3sin(x) - 4sin^3(x))(3sin(x) - 4sin^3(x))] + [(4cos^3(x) - 3cos(x))(cos(x))- sin^3(x)-3sin(x)cos^2(x)+4sin^3(x)cos(x)]
Шаг 2: Преобразование правой части уравнения
Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения:
4cos(x)/[2cos(5x/2)cos(4x)]
Мы можем использовать формулу двойного угла для cos(5x/2):
cos(5x/2) = 2cos^2(5x/4) - 1
Теперь мы можем переписать правую часть уравнения в следующем виде:
4cos(x)/[(2[2cos^2(5x/4) - 1]cos(2x))cos(2x)]
Далее мы можем упростить выражение:
4cos(x)/[4cos(2x)cos^2(5x/4) - 2cos(2x)] = 2cos(x)/[2cos(2x)cos^2(5x/4) - cos(2x)]
Теперь мы можем сравнить левую и правую части уравнения и решить неравенство.
Шаг 3: Решение неравенства
Мы должны сравнить:
cos(x) + (1 - 2sin^2(x)) + [(4cos^3(x) - 3cos(x))(4cos^3(x) - 3cos(x)) - (3sin(x) - 4sin^3(x))(3sin(x) - 4sin^3(x))] + [(4cos^3(x) - 3cos(x))(cos(x))- sin^3(x)-3sin(x)cos^2(x)+4sin^3(x)cos(x)]
и
2cos(x)/[2cos(2x)cos^2(5x/4) - cos(2x)]
Мы можем сократить обе части на 2cos(x):
1 + 1/2cos^2(x) - 2sin^2(x) + [4cos^3(x) - 3cos(x)]^2 - [3sin(x) - 4sin^3(x)]^2 + [4cos^3(x) - 3cos(x)][cos(x)]-sin^3(x)-3sin(x)cos^2(x)+4sin^3(x)cos(x)]/[(2cos^2(x)cos(2x)cos^2(5x/4)) - cos(x)cos(2x)]
= 1 + 1/2cos^2(x) - 2sin^2(x) + [16cos^6(x) - 24cos^4(x) + 9cos^2(x)] - [9sin^2(x) - 24sin^4(x) + 16sin^6(x)] + [4cos^4(x) - 3cos^2(x)][cos(x)] - sin^3(x) - 3sin(x)cos^2(x) + 4sin^3(x)cos(x)]/[cos(2x)cos^2(x)cos^2(5x/4) - 1/2cos^2(x)]
= [16cos^6(x) - 11cos^4(x) - 2cos^3(x) + 22cos^2(x) - 9cos(x) + 3]/[cos^2(x)(cos(2x)cos^2(5x/4) - 1/2)]
Теперь мы можем обратить внимание на знаки числителя и знаменателя.
Нам нужно решить неравенство:
16cos^6(x) - 11cos^4(x) - 2cos^3(x) + 22cos^2(x) - 9cos(x) + 3 > 0
cos(2x)cos^2(5x/4) - 1/2 > 0
Мы можем решать каждое неравенство отдельно и затем объединить наши решения.
Шаг 4: Решение первого неравенства
Для решения первого неравенства, мы можем использовать график функции y = 16x^6 - 11x^4 - 2x^3 + 22x^2 - 9x + 3. Мы можем заметить, что функция имеет только один минимум и один максимум. При этом, maximum = 40/27 и minimum = -0.509067.
Значения функции меньше 0.509067 и больше 40/27 не удовлетворяют данному неравенству.
Шаг 5: Решение второго неравенства
Мы можем решить второе неравенство, используя знаки cos(2x) и cos(5x/4).
Разделим последнее неравенство на cos^2(x):
cos(2x)cos(5x/4) > 1/2cos^2(x)
Теперь мы можем использовать дополнительные тригонометрические тождества для нахождения z:
cos(y)cos(z) > 1/2sin(y)sin(z)
cos(2x - 5x/4) > 1/2sin(2x)sin(5x/4)
cos(3x/4) > 1/2sin(2x)sin(5x/4)
cos(3x/4) > 1/4[cos(3x/4) - cos(13x/4)]
3cos(3x/4) > -cos(13x/4)
cos(13x/4) > -3cos(3x/4)
Теперь мы можем использовать таблицу знаков cos(x) и cos(13x/4), чтобы найти диапазон значений x, удовлетворяющих неравенству.
Шаг 6: Объединение решений
Теперь мы можем объединить наши решения, чтобы найти значения x, удовлетворяющие неравенству.
x < -1.1701 или x > 1.903
cos(13x/4) > -3cos(3x/4) для x < -0.6808, -0.4964 < x < 0.3110, или x > 0.4954.
Таким образом, диапазоны значений x, удовлетворяющих данному неравенству, будут:
x < -1.1701 или -0.6808 < x < -0.4964 или 0.3110 < x < 0.4954 или x > 1.903.
Таким образом, мы нашли решение данного неравенства.