Арифметическая прогрессия. Помогите решить

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на определенную постоянную величину, называемую разностью прогрессии. Формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

a_n = a_1 + (n - 1)d

где a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Теперь давайте посмотрим на примеры задач, связанных с арифметической прогрессией.

Пример 1

Найти 10-ый член арифметической прогрессии, если первый член равен 2, а разность прогрессии равна 4.

Решение:

Используя формулу для n-ого члена арифметической прогрессии, имеем:

a_10 = 2 + (10 - 1)*4 = 2 + 36 = 38

Ответ: 10-ый член прогрессии равен 38.

Пример 2

Вычислите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если первый член равен -3, а разность прогрессии равна 2.

Решение:

Мы можем использовать формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a_1 + a_n)*n/2

где a_1 - первый член прогрессии, a_n - n-ый член прогрессии.

Таким образом, имеем:

a_20 = -3 + (20 - 1)*2 = -3 + 38 = 35

S_20 = (-3 + 35)20/2 = 1620 = 320

Ответ: сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 320.

Пример 3

Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что сумма первых 10 членов прогрессии равна 130, а сумма первых 20 членов равна 490.

Решение:

Мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (a_1 + a_n)*n/2

Вычитая из этой формулы сумму первых m членов прогрессии, мы можем получить формулу для суммы членов от m+1 до n:

S_n - S_m = (a_m + a_n)*(n - m)/2

Теперь у нас есть два уравнения, которые можно использовать для нахождения разности прогрессии.

Пусть d - разность прогрессии. Тогда:

S_10 = (2a_1 + 9d)*10/2 = 5(a_1 + 4d)

S_20 = (2a_1 + 19d)*20/2 = 10(a_1 + 9d)

Таким образом, мы можем составить два уравнения:

5(a_1 + 4d) = 130 10(a_1 + 9d) = 490

Решением этой системы уравнений является a_1 = 5, d = 9. Таким образом, разность прогрессии равна 9.

Ответ: разность арифметической прогрессии равна 9.

Таким образом, арифметическая прогрессия - это мощный инструмент для решения многих задач, как в математике, так и в других областях, требующих логического мышления. Используйте эти примеры, чтобы лучше понять, как работает арифметическая прогрессия!